三角函數(shù)目錄
起源
同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
正余弦定理
部分高等內(nèi)容
三角函數(shù)的計(jì)算
三角函數(shù)定義域和值域
初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)
反三角函數(shù)
反三角函數(shù)
[編輯本段]起源
歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說(shuō)是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過(guò)程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對(duì)函數(shù)概念來(lái)龍去脈認(rèn)識(shí)的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．
（一）
馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來(lái)源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽．
自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問(wèn)題，人們?cè)谒妓鳎杭热坏厍虿皇怯钪嬷行模旧碛钟凶赞D(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對(duì)于高度和射程的影響等問(wèn)題，既是科學(xué)家的力圖解決的問(wèn)題，也是軍事家要求解決的問(wèn)題，函數(shù)概念就是從運(yùn)動(dòng)的研究中引申出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來(lái)源．
（二）
早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．
1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當(dāng)廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.
當(dāng)時(shí)，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運(yùn)算主要是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算，所以后來(lái)歐拉就索性把用這些運(yùn)算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．
18世紀(jì)中葉，由于研究弦振動(dòng)問(wèn)題，達(dá)朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說(shuō)法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時(shí)候，達(dá)朗貝爾說(shuō)是指“任意的解析式”，而歐拉則認(rèn)為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來(lái)這都是函數(shù)的表達(dá)方式，是函數(shù)概念的外延．
（三）
函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實(shí)踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報(bào)的過(guò)程中，做了許多關(guān)于磁的實(shí)驗(yàn)工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個(gè)重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支而出現(xiàn)了，實(shí)際的需要促使人們對(duì)函數(shù)的定義進(jìn)一步研究．
后來(lái)，人們又給出了這樣的定義：如果一個(gè)量依賴著另一個(gè)量，當(dāng)后一量變化時(shí)前一量也隨著變化，那么第一個(gè)量稱為第二個(gè)量的函數(shù)．“這個(gè)定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運(yùn)動(dòng)注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進(jìn)步．”
在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國(guó)數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達(dá)式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說(shuō)，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個(gè)都是任意的……，我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律；他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)．”在該書中，他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè)由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說(shuō)就是，任意一個(gè)以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由
表示出，其中
富里埃的研究，從根本上動(dòng)搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動(dòng)．原來(lái)，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點(diǎn)終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．
通過(guò)一場(chǎng)爭(zhēng)論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．
1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個(gè)定義建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展，因?yàn)椤皩?duì)應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．
1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”
根據(jù)這個(gè)定義，即使像如下表述的，它仍然被說(shuō)成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：
f（x）= 1（x為有理數(shù)），
0（x為無(wú)理數(shù)）．
在這個(gè)函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無(wú)論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無(wú)限止地忽0忽1．因此，它難用一個(gè)或幾個(gè)式子來(lái)加以表示，甚至究竟能否找出表達(dá)式也是一個(gè)問(wèn)題．但是不管其能否用表達(dá)式表示，在狄里克萊的定義下，這個(gè)f（x）仍是一個(gè)函數(shù)．
狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受．至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義．
（四）
生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀(jì)20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問(wèn)世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù)，
即ρ（x）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭(zhēng)論．按照函數(shù)原來(lái)的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對(duì)于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象．例如，當(dāng)汽車、火車通過(guò)橋梁時(shí)，自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè)，設(shè)車輛對(duì)軌道、橋面的壓力為一單位，這時(shí)在接觸點(diǎn)x=0處的壓強(qiáng)是
P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
其余點(diǎn)x≠0處，因無(wú)壓力，故無(wú)壓強(qiáng)，即P（x）=0.另外，我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力，即
函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對(duì)集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變?cè)貀稱為因變?cè)?
函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個(gè)字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標(biāo)志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．
函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)二百多年來(lái)的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說(shuō)已經(jīng)相當(dāng)完善了．不過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展是無(wú)止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．
設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無(wú)關(guān)系．
現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對(duì)應(yīng)”的術(shù)語(yǔ)，全部使用集合論的語(yǔ)言了．
從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過(guò)程中，我們體會(huì)到，聯(lián)系實(shí)際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．
三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄�(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。
基本初等內(nèi)容
它有六種基本函數(shù)(初等基本表示)：
函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）有
正弦函數(shù) sinθ=y/r
余弦函數(shù) cosθ=x/r
正切函數(shù) tanθ=y/x
余切函數(shù) cotθ=x/y
正割函數(shù) secθ=r/x
余割函數(shù) cscθ=r/y
（斜邊為r，對(duì)邊為y，鄰邊為x。）
以及兩個(gè)不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)：
正矢函數(shù) versinθ =1-cosθ
余矢函數(shù) coversθ =1-sinθ
正弦（sin）:角α的對(duì)邊比上斜邊
余弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊
正切（tan）:角α的對(duì)邊比上鄰邊
余切（cot）:角α的鄰邊比上對(duì)邊
正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊
余割（csc）:角α的斜邊比上對(duì)邊
[編輯本段]同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：
·平方關(guān)系：
sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2
tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2
cot²(α)+1=csc²(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊,
·三角函數(shù)恒等變形公式
·兩角和與差的三角函數(shù)：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函數(shù)：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降冪公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·萬(wàn)能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推導(dǎo)公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
證明：
左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （積化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊
等式得證
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
證明:
左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊
等式得證
[編輯本段]三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式一：
設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
[編輯本段]正余弦定理
正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．
余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA
角A的對(duì)邊于斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sinA=角A的對(duì)邊/斜邊
斜邊與鄰邊夾角a
sin=y/r
無(wú)論y>x或y≤x
無(wú)論a多大多小可以任意大小
正弦的最大值為1 最小值為-
[編輯本段]部分高等內(nèi)容
·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展開有無(wú)窮級(jí)數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。
·三角函數(shù)作為微分方程的解：
對(duì)于微分方程組 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。
補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。
特殊角的三角函數(shù):
角度a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
1.sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 0
2.cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1
3.tana 0 √3/3 1 √3 無(wú)限大 -√3 0
4.cota / √3 1 √3/3 0 -√3/3 /
[編輯本段]三角函數(shù)的計(jì)算
冪級(jí)數(shù)
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù), 這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).
泰勒展開式(冪級(jí)數(shù)展開法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
實(shí)用冪級(jí)數(shù)：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
在解初等三角函數(shù)時(shí)，只需記住公式便可輕松作答，在競(jìng)賽中，往往會(huì)用到與圖像結(jié)合的方法求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式、面積等等。
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傅立葉級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
三角函數(shù)的數(shù)值符號(hào)
正弦 第一，二象限為正， 第三，四象限為負(fù)
余弦 第一，四象限為正 第二，三象限為負(fù)
正切 第一，三象限為正 第二，四象限為負(fù)
[編輯本段]三角函數(shù)定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椤?1,1〕
tan(x)的定義域?yàn)閤不等于π/2+kπ,值域?yàn)镽
cot(x)的定義域?yàn)閤不等于kπ,值域?yàn)镽
[編輯本段]初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/(cosx)² =(secx)²
y=cotx---y'=-1/(sinx)² =-(cscx)²
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√1-x²
y=arccosx---y'=-1/√1-x²
y=arctanx---y'=1/(1+x²)
y=arccotx---y'=-1/(1+x²)
[編輯本段]反三角函數(shù)
三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割A(yù)rcsec x=1/cosx，反余割A(yù)rccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù)，因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對(duì)稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1(x).
反三角函數(shù)主要是三個(gè)：
y=arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，圖象用紅色線條；
y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用蘭色線條；
y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；
sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】
證明方法如下：設(shè)arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個(gè)式子代如上式即可得
其他幾個(gè)用類似方法可得。
滬公網(wǎng)安備31010802001143號(hào)
